KATA PENGANTAR
Dengan nama ALLAH Yang Maha Pengasih
lagi Maha Penyayang. Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat ALLAH SWT,
karena atas rahmat dan karunia-NYA penulis dapat menyelesaikan tugas makalah
Kalkulus I yang mengenai “Limit Tak Hingga dan Limit Di Tak Hingga”
Makalah ini disusun untuk memenuhi
tugas dari Matakuliah Kalkulus I yang digunakan sebagai perhitungan nilai
penulis dalam Matakuliah ini.
Selama penyusunan makalah ini, penulis telah memperoleh bantuan,
bimbingan, petunjuk serta saran-saran dari berbagai pihak. Oleh karena itu pada
kesempatan ini penulis mengahaturkan rasa syukur dan terima kasih kepada:
1. Allah SWT dan Nabi Besar Muhammad SAW
yang telah memberikan kesempatan bagi penulis untuk menyelesaikan makalah ini
dengan keadaan sehat.
2. Orang tua penulis yang telah memberi
do’a dan dukungan baik moril maupun materil yang tak terhingga kepada penulis
sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan sebaik-baiknya.
3. Bapak Prof. Dr. Surahmat M.Si , selaku
Rektorat Universitas Islam Malang yang telah banyak memberikan dorongan kepada
penulis.
4. Ibu Dr. Sunismi, M.Pd , selaku guru
pembimbing matakuliah Kalkulus I yang telah banyak memberikan bantuan dan
arahan kepada penulis dalam proses belajar mengajar hingga tersusunnya makalah
ini.
Penulis sangat menyadari bahwa penulisan ini masih jauh dari sempurna.
Oleh karena itu penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang bersifat
membangun sebagai bahan masukan dan bahan pertimbangan bagi kami dalam
menyelesaikan tugas-tugas berikutnya.
Malang, Desember 2011
Penulis
DAFTAR ISI
Kata
Pengantar................................................................................................................1
Daftar
Isi.........................................................................................................................2
Bab 1
Pendahuluan…………………………….......……..............................................3
Bab 2 Pembahasan………………………….…………………………………………4
Limit tak hingga dan limit di tak
hingga…………………...……………………….....4
A. Limit tak hingga……………………………..…………………….......4
B. Limit di tak hingga…………………….………………………….......9
Bab 3 Penutup…………………………………………………………………..........10
Daftar Pustaka……………………………………………………………………......11
Bab 1
Pendahuluan
A.
Latar
Belakang
Dalam pembahasan bab limit ini
terdapat sub bab limit tak hingga dan limit di tak hingga, sebagian
orang masih sulit membedakan antara kedua sub bab tersebut. Terdapat
definisi-definisi yang ada pada limit tak hingga dan limit di tak hingga.
Maka dalam makalah ini kami akan menjelaskan definisi-definisi yang ada
tersebut, serta rumus-rumus yang ada.
B.
Tujuan
Tujuan dari pembuatan makalah ini
adalah untuk mengetahui definisi-definisi dalam limit tak hingga dan limit di
tak hingga.
C.
Manfaat
Manfaat yang dapat kita peroleh dari
pembuatan makalah ini adalah kita bisa mengetahui cara menyelesaikan soal-soal
yang melibatkan tentang limit tak hingga dan limit di tak hingga.
Bab 2
PEMBAHASAN
LIMIT TAK HINGGA DAN LIMIT
DI TAK HINGGA
A.
LIMIT TAK HINGGA
Terlebih dahulu diperhatikan masalah hitung limit berikut:
. Untuk nilai-nilai x yang cukup dekat dengan 0, maka nilai-nilai
diberikan pada
table berikut ini.
|
X
|
|
X
|
|
|
1
|
1
|
−1
|
1
|
|
0,5
|
4
|
−0,5
|
4
|
|
0,01
|
10.000
|
−0,01
|
10.000
|
|
0,0001
|
100.000.000
|
−0,0001
|
100.000.000
|
|
0,000005
|
40.000.000.000
|
−0,000005
|
40.000.000.000
|
Dari Tabel di atas dapat dilihat
bahwa apabila nilai x semakin dekat
dengan 0, maka nilai
menjadi semakin
besar. Bahkan nilai
akan menjadi
besar tak terbatas apabila x
mendekati 0, baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan. Grafik fungsi
dapat dilihat
pada Gambar
|
|
|
|
Dalam hal ini, dikatakan bahwa limit f(x) x menuju nol sama dengan tak hingga,
ditulis:
Secara sama mudah diperlihatkan:
Selanjutnya, diperoleh definisi berikut:
|
Definisi
(i).
jika untuk setiap x cukup dekat dengan
c, tetapi
, maka f(x) menjadi besar tak terbatas arah positif.
(ii).
jika untuk setiap x cukup dekat dengan
c, tetapi
, maka f(x) menjadi besar tak terbatas arah negatif.
|
Secara matematis, definisi di atas dapat ditulis sebagai:
|
(atau −∞) jika
untuk setiap bilangan real
terdapat bilangan
real
sehingga untuk
setiap
dengan sifat
berlaku
(atau
)
|
Contoh :
a)
Berapakah
, dalam kasus lain
Jawaban masalah ini adalah
cara menentukannya
diberikan teorema berikut.
Teorema
jika
a.
b.
c.
d.
Catatan
teorema ini
juga berlaku bila x
c diganti oleh x
Ilustrasi
1.
karena
dari bawah
2.
karena
dari bawah
3.
karena
dari atas.
4.
karena
dari atas
Di atas telah diterangkan
pengertian limit untuk
, dengan c
suatu bilangan berhingga. Akan tetapi, dalam berbagai aplikasi sering
ditanyakan bagaimana nilai
apabila nilai x cukup besar
B.
LIMIT DI TAK HINGGA
Sebagai contoh, bagaimana nilai
apabila nilai x cukup besar?. Tabel di bawah
memperlihatkan nilai f untuk berbagai nilai x. Ternyata semakin besar nilai x (arah positif), nilai
semakin kecil
mendekati nol. Dalam hal ini dikatakan:
Tabel
(a) (b)
|
x
|
|
|
x
|
|
|
10
|
0,1
|
|
−1
|
−1
|
|
1.000.000
|
0,000001
|
|
−1.000.000
|
−0,000001
|
|
5.000.000
|
0,0000002
|
|
−5.000.000
|
−0,0000002
|
|
100.000.000
|
0,00000001
|
|
−100.000.000
|
−0,00000001
|
Secara sama, apabila x besar tak terbatas arah negative
ternyata berakibat
mendekati nol,
yaitu:
Kemudian dapat diturunkan pengertian
limit menuju tak hingga. Hal itu dituliskan dalam definisi berikut.
|
(i).
jika untuk setiap bilangan real
terdapat bilangan
sehingga untuk
setiap
berlaku
.
(ii).
jika untuk setiap bilangan real
terdapat bilangan
sehingga untuk
setiap
berlaku
.
|
Secara matematis, Definisi di atas dapat
ditulis sebagai berikut:
|
Definisi
(i).
jika
terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah positif) dan jika x
menjadi besar tak terbatas (arah
positif) maka
mendekati L.
(ii).
jika
terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah negatif) dan jika x
menjadi besar tak terbatas (arah
negatif) maka
mendekati L.
|
Maka
ditunjukkan bahwa:
dan
rumus ini diperumum menjadi : 1)
2).
Contoh :
Hitung
.
Pembilang dan
penyebut sama-sama dibagi dengan
maka:
.█
Contoh :
Tentukan
.
Penyelesaian: Dengan membagi pembilang
dan penyebut dengan
, diperoleh:
.█
Contoh :
Hitung
=……..
Penyelesaian: Dengan membagi pembilang
dan penyebut dengan
, diperoleh:
.█
Bab 3
PENUTUP
A.
Kesimpulan
a.
Limit Tak Hingga
1.
2.
b.
Limit Di Tak Hingga
1.
2.
DAFTAR
PUSTAKA
1.
Martono,
Koko. 1999. Kalkulus. Jakarta: Erlangga,
2.
Purcell,
Edwin J. 1990. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1, Edisi IV. Jakarta :
Erlangga
3.
Sunismi.
2001. Kalkulus 1. Malang : Unisma Malang
Tidak ada komentar:
Posting Komentar