KATA
PENGANTAR
Puji
syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, yang rahmat- Nya maka kami dapat
menyelesaikan penyusunan makalah yang berjudul
“Limit Tak Hingga Dan Di Tak Hingga “.
Penulisan
makalah ini adalah merupakan salah satu tugas dan persyaratan untuk
menyelesaikan tugas mata kuliah kalkulus.
Dalam
penulisan makalah ini kami merasa masih banyak kekurangan- kekurangan baik pada
teknis penulisan maupun materi, mengingat akan kemampuan yang dimiliki penulis.
Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat kami harapkan demi
penyempurnaan pembuatan makalah ini.
Dalam
makalah ini kami menyampaikan ucapan terima kasih yang tak terhingga kepada
pihak- pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan makalah ini, khususnya
kepada dosen mata kuliah Kalkulus, Ibu Dr. Sunismi, M.Pd.
Akhirnya
penulis berharap semoga makalah yang berjudul “Limit Tak Hingga Dan Di Tak
Hingga “ dapat bermanfaat untuk kita semua.
Malang,
13 Desember 2011
Penulis
BAB
I
PENDAHULUAN
1.1 Latar
Belakang
Limit
tak hingga dan limit di tak hingga merupakan suatu bagian dari kalkulus.
1.2 Rumusan
Masalah
1. Apa
yang anda pahami tentang limit tak hingga?
2. Apa
yang anda pahami tentang limit di tak hingga?
1.3 Tujuan
1. Dapat
memahani tentang limit tak hingga.
2. Dapat
memahami tentang limit di tak hingga
3. Dapat
menguasai materi limit tak hingga dan di tak hingga.
BAB
II
LIMIT TAK HINGGA DAN DI
TAK HINGGA
1.
LIMIT
TAK HINGGA
Adalah konsep limit yang melibatkan
lambang ∞ dan -∞,yaitu bila nilai fungsi f(x)
membesar atau mengecil tanpa batas atau bila peubah x membesar atau mengecil
tanpa batas. Konsep pertama adalah tentang limit fungsi f di titik c untuk fungsi
f yang terbatas pada selang yang
memuat c. Dalam hal ini
kemungkinannya adalah
atau
(x→ c dapat diganti x→ atau
x→ ).
Konsep kedua adalah tentang limit
fungsi f untuk peubah x yang membesar
tanpa batas (x→∞) atau untuk peubah x yang mengecil tanpa batas x→-∞), yang dikenal sebagai limit tak hingga. Dalam hal ini
kemungkinannya adalah
atau
Kasus
lainnya adalah gabungan dari kedua konsep ini, yaitu limit tak hingga di tak
hingga, yang kemungkinannya adalah :
1)
2)
3)
4)
DEFINISI-DEFINISI
CERMAT LIMIT BILA x→ ±∞
|
Anda akan memperhatikan bahwa M dapat
tergantung pada ɛ. Umumnya, semakin kecil ɛ maka M harus semakin besar. Grafik
dalam gambar tersebut mungkin membantu anda memahami apa-apa yang telah kita
katakan.
|
CONTOH
1
Buktikan
bahwa jika k bilangan positif, maka
= 0 dan
Penyelesaian
Andaikan diberikan ɛ > 0. Pilih M = .
Maka x > M memenuhi - 0| = < = ɛ
Bukti
pernyataan yang kedua adalah serupa.
CONTOH
2
Buktikan
bahwa = 0
Penyelesaian Di sini kita memakai akal baku : membagi
pembilang dan penyebut dengan pangkat x tertinggi yang muncul di penyebut,
yakni .
= = = = 0
CONTOH
3
Cari
Penyelesaian
Lagi-lagi, kita bagi pembilang dan penyebut dengan
= = = = -
CONTOH
4
Cari
bagi
pembilang dan penyebut dengan
= = = 2
Kita
mempunyai fungsi f yang grafiknya diperlihatkan pada gambar
berikut. Perhatikan bahwa jika x
mendekati c, maka nilai f (x) semakin lama semakin besar dan tak
terbatas (membesar tanpa batas). Dari situasi ini secara intuitif akan di
bangun konsep limit tak hingga. Lambang :
Menyatakan
bahwa
f
(x) membesar tanpa batas bila x mendekati c.
Seperti
pada limit fungsi di satu titik, situasi ini akan dilihat dengan seksama. Kita
dapat menyatakan bahwa
f(x) dapat dibuat lebih
besar dari sebarang bilangan positif dengan cara mengambil x yang cukup dekat
ke c, tetapi x ≠ c.
Ini
berarti bahwa
bila
M >0 sebarang diberikan, kita dapat menentukan suatu sehingga untuk x yang memenuhi 0
< ǀx-cǀ <, berlaku f(x)>M.
Secara matematis, kita dapat menuliskan situasi ini
dengan lambang
M > 0 > 0 0< ǀx-c< f(x)>M
Sebagai
pengertian matematis dari .
Jadi kita sampai pada definisi berikut.
Definisi 2.25
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c, kecuali
mungkin di c sendiri. Limit
fungsi f di c adalah tak hingga, ditulis
atau
f(x)→∞ bila x→c
Jika M > 0 > 0 0< ǀx-c< f(x)>M
Sejalan
dengan definisi ini kita juga mempunyai limit tak hingga lainnya, yaitu limit
kiri dan limit kanan dari definisi ini, dan juga limit yang hasilnya -∞ beserta
limit kiri dan limit kanannya. Kita hanya akan memperkenalkan kelima kasus ini
hanya dalam lambang matematika disertai dengan situasi geometrisnya pada gambar
berikut.
Definisi 2.26
1. jika
M > 0 > 0 0< x-c
<⇒ f(x)>M
2. jika
M > 0 > 0 0< c-x
<⇒ f(x)>M
3. jika
N > 0 > 0 0< ǀx-cǀ<⇒ f(x)<N
4. jika N > 0 > 0 0< c-x
<⇒ f(x)< N
5. jika N > 0 > 0 0< x-c
<⇒ f(x)<N
Dengan
menggunakan konsep limit tak hingga dapat dibuktikan teorema berikut.
Teorema
2.27
1. = ∞, n bilangan asli
2. = ∞, n bilangan genap
positif
−∞, n bilangan ganjil positif
3. = ∞, n bilangan genap positif
Teorema ini dapat
diperumum untuk menyelesaikan masalah :
Berapakah
, dalam kasus f (x) ≠ 0 dan
Jawaban
masalah ini adalah ∞, atau −∞, cara menentukannya diberikan teorema berikut.
Teorema 2.28
Jika
f (x) = L ≠ 0 dan , maka =
a. ∞
bila L > 0 dan g (x) → 0 dari atas (arah
nilai g (x) yang positif)
b. −∞
bila L < 0 dan g (x) → 0 dari atas (arah nilai g (x) yang positif)
c. −∞
bila L > 0 dan g (x) → 0 dari bawah ( arah nilai g (x) yang negatif)
d. ∞
bila L < 0 dan g (x) maka 0 dari bawah (arah nilai g (x) yang negatif)
Catatan
:
Teorema
2.28 juga berlaku bila x→c diganti oleh x→c⁺
atau x→cˉ. Sebagai ilustrasinya adalah :
1. = −∞ , karena = 2>0 dan dari bawah.
2. =
∞ , karena = - 2 < 0
dan dari bawah.
3. = ∞ , karena = 2>0 dan dari atas.
4. = −∞ , karena –
x ) =
– 2 < 0 dan dari atas.
2.
LIMIT DI TAK HINGGA
Kita mempunyai fungsi f
yang grafiknya diperlihatkan pada gambar berikut. Perhatikan bahwa jika
peubah x membesar tanpa batas, maka f(x) akan mendekati dengan L. Dari situasi ini secara intuitif akan dibangun konsep limit di tak hingga.
Lambang :
Menyatakan bahwa f (x) mendekati L, bila x membesar tanpa batas.
Dengan
proses seperti pada limit fungsi di satu titik, secara lebih seksama kita dapat
menyatakan bahwa :
f (x) dapat dibuang sebarang dekat ke L dengan cara mengambil x yang
cukup besar atau
jarak f (x) ke L dapat
dibuat sebarang kecil bila x dibuat lebih besar dari suatu bilangan positif.
Ini
berarti bahwa bila ɛ>0 sebarang diberikan, kita dapat
menentukan suatu m>0 sehingga untuk x yang memenuhi x>m, berlaku ǀ f (x)
- Lǀ < ɛ
Secara matematis, kita dapat menuliskan situasi ini
dengan lambang
ǀ f (x) - Lǀ < ɛ
Sebagai
pengertian matematis dari =
L . jadi kita sampai pada definisi berikut.
Definisi 2.29
Misalkan
fungsi f terdefinisi pada selang (a,∞). Limit fungsi f untuk x membesar tanpa
batas adlah L, ditulis :
atau f
(x)→L bila x → ∞
Jika Lǀ
< ɛ
Dengan
cara yang sama, kita dapat mendefinisikan limit fungsi f bila peubahnya
mengecil tanpa batas. Pada gambar berikut, perhatikan bahwa jika x mengecil
tanpa batas, maka fungsi f (x) dekat dengan L. Dari sini kita dapat menyatakan
bahwa f (x) dapat dibuat sebarang dekat ke L, dengan cara mengambil x yang
cukup kecil.
Definisi 2.30
Misalkan
fungsi f terdefinisi pada selang (−∞,b). Limit
fungsi f untuk x megecil tanpa batas adalah L, ditulis
atau f (x) → L bila x → ∞,
jika
Lǀ
<ɛ
Teorema 2.31
1. = 0, n bilangan asli
2. = 0, n bilangan asli
Bukti
Kita buktikan teorema 2.31.1
Diberikan
ɛ>0, akan ditentukan suatu m>0 sehingga x>m ⇒ ǀ - 0| = <
Berdasarkan
< > x > pilihlah m = >
0. Akibatnya,
x>m= ⇒> ⇒ ǀ - 0| = <
Sehingga
terbuktilah yang di inginkan.
Catatan :
Sifat-sifat
limit di satu titik dan limit fungsi komposisi untuk fungsi yang mempunyai
limit, dan prinsip apit berlaku juga untuk limit di tak hingga. Pernyataan
teoremanya persis sama, tetapi x→c di
ganti oleh x→∞, atau di ganti oleh x→ - ∞, dan daerah asal f disesuaikan. Dalam pemecahan soal,
kita seringkali harus memanipulasi bentuk fungsinya agar muncul bentuk ,
sehingga teorema di atas dapat digunakan.
Berbagai
teknik menghitung limit di tak hingga dengan menggunakan teorema 2.31 diberikan
dalam contoh berikut.
Contoh 2.31
Hitunglah
Jawab
agar bentuk dapat dimunculkan sehingga teorema 2.31.1 dapat
di gunakan, maka keluarkan faktor dari pembilang dan penyebut. Karena x→∞, maka kita hanya berurusan dengan
bilangan positif, sehingga faktor dapat dicoret. Limit yang diinginkan langsung
diperoleh setelah teorema 2.31.1 digunakan.
=
= = = =
Contoh 2.24
Hitunglah
Jawab
agar bentuk dapat dimunculkan sehingga teorema 2.31.2
dapat di gunakan, maka keluarkan faktor dari pembilang dan penyebut. Karena x→ - ∞, maka kita hanya berurusan dengan
bilangan negatif, sehingga faktor dapat dicoret. Limit yang diinginkan langsung
diperoleh setelah teorema 2.31.2 digunakan.
=
= = =
Contoh 2.25 Hitunglah
(a) dan (b)
Jawab
soal ini diselesaikan dengan mnggunakan prinsip apit untuk limit di tak hingga.
(a)
karena 0 ≤ ǀǀ
≤ x > 0, dengan limit pengapitnya , maka =0.
Berdasarkan rumus nilai mutlak fungsi di peroleh = 0.
(b)
karena 0 ≤ ǀǀ
≤ x > 0, dengan limit pengapitnya , maka =0.
Berdasarkan rumus nilai mutlak fungsi di peroleh = 0.
Hubungan Terhadap
Asimtot
Asimtot-asimtot
di bahas secara ringkas dalam pasal 2.1, tetapi sekarang kita dapat mengatakan
lebih banyak tentang mereka. Garis x = c adalah asimtot vertikal dari grafik y=
f(x) jika salah satu dari pernyataan-pernyataan
berikut benar.
1. =
∞
2. =
- ∞
3. =
∞
4. =
- ∞
Jadi
dalam contoh 5, garis x = 1 adalah
asimtot tegak. Sama halnya, garis-garis x=2 dan x =3 adalah asimtot vertikal
dalam contoh 6. Dalam nafas yang serupa, garis y = b adalah asimtot horisontal
dari grafik y = f(x) jika atau .
Garis y = 0 adalah asimtot horisontal dalam contoh 5.
Contoh 7
cari asimtot-asimtot vertikal dan horizontal dari grafik y = f(x) Jika f(x)=
Penyelesaian
Kita
harapkan sebuah asimtot vertikal pada titik yang penyebutnya nol, dan kita
benar karena = ∞ dan = −∞
Sebaliknya
= = 2 dan = 2 sehingga y = 2 adalah asimtot .
Grafik y = diperlihatkan pada gambar berikut.
BAB
III
PENUTUP
3.1
Kesimpulan
Ø Limit
Tak Hingga adalah konsep limit yang melibatkan lambang ∞ dan -∞,yaitu bila
nilai fungsi f(x) membesar atau
mengecil tanpa batas atau bila peubah x
membesar atau mengecil tanpa batas. Konsep
pertama adalah tentang limit fungsi f di titik c untuk fungsi f yang
terbatas pada selang yang memuat c.
Dalam hal ini kemungkinannya adalah
atau
(x→ c dapat diganti x→ atau
x→ ).
Konsep kedua adalah tentang limit
fungsi f untuk peubah x yang membesar
tanpa batas (x→∞) atau untuk peubah x yang mengecil tanpa batas x→-∞), yang dikenal sebagai limit tak hingga.Dalam hal ini
kemungkinannya adalah
atau
Ø Sifat-sifat
limit di satu titik dan limit fungsi komposisi untuk fungsi yang mempunyai
limit, dan prinsip apit berlaku juga untuk limit di tak hingga. Pernyataan
teoremanya persis sama, tetapi x→c di
ganti oleh x→∞, atau di ganti oleh x→ - ∞, dan daerah asal f disesuaikan.
Mba, maaf kok gambarnya gak nampil yah.
BalasHapusgk ada gambarnya susah buat mahami
BalasHapus