Senin, 11 Februari 2013

LIMIT FUNGSI MAKSIMUM DAN MINIMUM


MAKSIMUM DAN MINIMUM
Makalahinidisusununtukmemenuhitugasmatakuliahkalkulus I
dibimbingolehDra. Sunismi, M.Pd



UIM










UNIVERSITAS ISLAM MALANG
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
Oktober 2012

         KATA PENGANTAR
           
Syukur Alhamdulillah kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat serta hidayahnya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah dengan judul ”Maksimum dan Minimum”. Sholawat serta salam kita haturkan kepada baginda Rosul Muhammad SAW, beliau yang menjadi panutan kita.
Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada IbuDra. Sunismi, M.Pd selaku dosen mata kuliah Kalkulus I yang telah membimbing penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini.
Penulis mohon maaf apabila terdapat kesalahan dalam makalah ini.
Semoga makalah ini bermanfaat bagi semua pihak yang membaca, khususnya bagi penulis.





                                                                          Malang, 28 Oktober 2012














Daftar Isi

Kata Pengantar........................................................................................................... ii
Daftar Isi.................................................................................................................... iii
Bab I Pendahuluan..................................................................................................... 1
Bab II Isi.................................................................................................................... 2
2.1 Defenisi................................................................................................................ 2
2.2Teorema Keberadaan Maksimum-Minimum......................................................... 2
2.3 Di Mana Terjadi Nilai-Nilai Ekstrim.................................................................... 2
2.4 Teorema Titik Kritis
Bab III Penutup......................................................................................................... 9
3.1 Kesimpulan.......................................................................................................... 9
3.2 Saran.................................................................................................................... 9
Daftar Pustaka........................................................................................................... iv































BAB I
PENDAHULUAN
Seringkalikitaharusmencaricaraterbaikdalammelakukansesuatupekerjaan. Sebagaicontoh, seorangpetaniinginmemperolehkombinasitanaman yang dapatmenghasilkankeuntunganterbesar.Seorangdokterberharapdapatmemberikandosisterkecilsuatuobatuntukmenyembuhkanpenyakittertentu.Seorangkepalapabrikinginmenekansekecilmungkinbiayapendistribusianproduknya.
            Kadangkalamasalahsemacamitudapatdirumuskansedemikianrupasehinggamelibatkanpemaksimumndanpeminimumansuatufungsipadasuatuhimpunan yang telah di tentukan.Jikademikian, metode-metodekalkulusmenyediakansaranaampuhuntukmemecahkanmasalahtersebut.











BAB II
ISI
1.1 Definisi
Misalkan S, daerahasalƒ, mengandungtitikc,maka :
      ƒ(c) adalahnilaimaksimum ƒ pada S jika ƒ(c) ≥ ƒ(x)untuksemua x di S;
      ƒ(c)adalahnilai minimum ƒ pada S jika ƒ(c) ≤ ƒ(x)untuksemua x di S;
      ƒ(c) adalahnilaiekstrim ƒ pada S jikaiaadalahnilaimaksimumataunilai minimum.
1.2 TeoremaKeberadaanMaksimum-Minimum :
Jika ƒ kontinupada interval tertutup [a , b] ,maka ƒ mencapainilaimaksimumdannilai minimum.
1.3 Di manaterjadinilai-nilaiekstrim?
Nilai-nilaiekstrimdarifungsi yang didefenisikanpada interval tertutupseringkaliterjadipadatitik-titikujung.
Jikacsebuahtitiktempat ƒ΄(x) =0, kitasebutctitikstasioner.
Jikacadalahtitik –dalamdariI di mana ƒ΄tidakada, kitasebutcsebagaititik singular.
Ketigajenistitikinimerupakantitik-titikkuncidariteorimaks-min. Sebarangtitikdalamdaerahasalfungsi ƒ yang termasuksalahsatudaritigatipeinidisebuttitikkritisƒ.



CONTOH :
Carititik-titikkritisdari ƒ(x)= -2x³ + 3x² pada [-½ ,2]
PENYELESAIAN :
Titik-titikujungadalah -½ dan 2. Untukmencarititikstasionerkitapecahkan
ƒ΄(x)= -6x² + 6x =0 untuk x, diperoleh 0 dan 1.Tidak adatitik-titik singular.
Jadititik-titikkritisnyaadalah -½ , 0 , 1 , 2.
1.4 TEOREMA TITIK KRITIS :
Misalkan ƒ didefenisikanpada interval I yang memuattitikc. Jika ƒ(c) adalahnilaiekstrim,
makacharuslahberupasuatutitikkritis; dengan kata lain, cadalahsalahsatudari :
        TitikujungdariI
        Titikstasionerdari ƒ ; yaknititik di mana ƒ΄(c) = 0 atau;
        Titik singular dariƒ ;yaknititik di mana ƒ΄(c) tidakada.
CONTOH :
Carilahnilai-nilaimaksimumdan minimum dari ƒ(x) = x³ pada [-2,2].
PENYELESAIAN :
ƒ΄(x) = 3x²
ƒ΄(x) hanya “nol” ketika x=0,
» titik-titikujungnyaadalah x= -2 dan x=2
            makatitik-titikkritisnya = -2 , 0 ,dan 2
» substitusititik-titikkritispadafungsisemula ƒ(x)= x³ diperoleh :
            ƒ(-2)= (-2)³ = -8
            ƒ(0) = (0)³ = 0
            ƒ(2) = (2)³ = 8
Jadinilaimaksimumadalah 8 dannilai minimum adalah -8

CONTOH :
Carilahnilai-nilaimaksimumdan minimum dari ƒ(x) = -2x³ + 3x² pada[ -½,2]
PENYELESAIAN :
ƒ΄(x) = -6x² + 6x
ƒ΄(x)=0 jika x=0 dan x=1
»titik-titikujungnyaadalah x= -½ dan x=2
makatitik-titikkritisnya = -½ , 0 , 1 ,dan 2
»substitusititik-titikkritispadafungsisemula ƒ(x)= -2x³ + 3x² diperoleh        
ƒ(-½)= -2(-½)³ + 3(-½)² = ¼ + ¾=1
ƒ(0)= -2(0)³ + 3(0)² =0
ƒ(1)= -2(1)³ + 3(1)² =1
ƒ(2)= -2(2)³ + 3(2)² = -4
Jadinilaimaksimumadalah 1 dannilai minimum adalah -4
CONTOH :
Fungsi F(x) = x
Kontinu di mana-mana.
Carilah nilai-nilai maksimum dan minimumnya pada [ -1,2 ]
PENYELESAIAN :
            F′(x) = ⅔ x­⅓
            Tidak pernah nol, namun F′(o) tidak ada, sehingga 0 , -1 ,dan 2 adalah titik kritisnya.
            »substitusi titik-titik kritis ke fungsi semula diperoleh;
                        F(-1) = 1
                        F(0) = 0
                        F(2) =
                                ≈1,59
            Jadi nilaSi maksimum adalah
               nilai minimum adalah 0
CONTOH :
Carilahnilai-nilaimaksimumdan minimum dari ƒ(x) = x + 2 cos x pada[ - , 2 ]
PENYELESAIAN :
            ƒ′(x) = 1 – 2 sin x
            ƒ′(x) = 0 ketikanilaidari sin x = ½
            nilai sin x = ½ dalam interval [ - , 2 ] yang memenuhiadalah x = /6 dan x = 5/6
            makatitik-titikkritisnyaadalah - , 5/6 , /6 ,dan 2
            »substitusititik-titikkritisdiperoleh;
                        ƒ(-) = -2 - ≈ -5,14
                        ƒ(5/6) = - + 5/6 ≈ 0,89
                        ƒ(/6) =   + /6 ≈ 2,26
                        ƒ(2) = 2 + 2 ≈ 8,28
            Jadinilaimaksimumadalah 2 + 2dannilai minimum adalah -2 - 










BAB III
PENUTUP

3.1  Kesimpulan
3.1.1 Suatu fungsi kontinu pada suatu interval tertutup akan selalu  mempunyai nilai maksimum dan minimum pada interval tersebut.
            3.1.2 Istilah nilai ekstrim menyatakan suatu nilai maksimum dan minimum.
            3.1.3 Suatu fungsi dapat mencapai nilai ekstrim hanya pada titik kritis. Titik-titik kritis ada tiga tipe ; titik ujung, titik stasioner, dan titik singular.
3.2  Saran
Seperti kata pribahasa yang mengatakantakadagading yang takretak,karenakesempurnaanhanyamilik Allah. Makalahinidibuatuntukmemudahkanpembacadalammempelajaridanmemahamikonsepbarisangeometrisecaramendalam.
 Saran bagipembaca;
1. Pembaca di harapkanmemahamimaterimaksimumdan minimum yang telah di paparkandalammakalahini.
2. Pembaca di harapkandapatmengambilmanfaatdarimakalahini.
3. Pembacadapatmemberikankritik yang membangundarimakalah yang telahpenulispaparkan, agar kedepannyapenulisdapatmemperbaikikekurangan yang adadalammakalahini.
            Dengankemajuanteknologi yang semakincanggihpembaca di harapkandapatmencarikekurangan – kekurangandalammakalahini di dalamliteratur yang lain ataupun internet.








Daftar Pustaka

Purcell, Edwin J. Dale Varberg. 1987.  Edisi Kelima Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta : Erlangga.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar