Google+ Followers

Minggu, 03 Februari 2013

limit disatu titik

KATA PENGANTAR
Dengan nama ALLAH Yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang. Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat ALLAH SWT, karena atas rahmat dan karunia-NYA penulis dapat menyelesaikan tugas makalah Kalkulus I yang mengenai “Konsep Limit Fungsi dan Limit Fungsi di satu titik ”
Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas dari Matakuliah Kalkulus I yang digunakan sebagai perhitungan nilai penulis dalam Matakuliah ini.
Selama penyusunan makalah ini, penulis telah memperoleh bantuan, bimbingan, petunjuk serta saran-saran dari berbagai pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis mengahaturkan rasa syukur dan terima kasih kepada:

1.       Allah SWT dan Nabi Besar Muhammad SAW yang telah memberikan kesempatan bagi penulis untuk menyelesaikan makalah ini dengan keadaan sehat.
2.       Orang tua penulis yang telah memberi do’a dan dukungan baik moril maupun materil yang tak terhingga kepada penulis sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan sebaik-baiknya.
3.       Bapak Prof. Dr. Surahmat M.Si , selaku Rektorat Universitas Islam Malang yang telah banyak memberikan dorongan kepada penulis.
4.       Ibu Dr. Sunismi, M.Pd , selaku guru pembimbing matakuliah Kalkulus I yang telah banyak memberikan bantuan dan arahan kepada penulis dalam proses belajar mengajar hingga tersusunnya makalah ini.
5.       Teman-teman Pendidikan Matematika IB yang telah memberikan motivasi dalam penyelesaian makalah ini.
Penulis sangat menyadari bahwa penulisan ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun sebagai bahan masukan dan bahan pertimbangan bagi kami dalam menyelesaikan tugas-tugas berikutnya.

Malang,     Oktober 2012



Penulis

DAFTAR ISI


Kata Pengantar................................................................................................1
Daftar Isi........................................................................................................2
Bab 1 Pendahuluan………………………………….............................................3
Bab 2 Pembahasan……………………………………………………………………4
Konsep Limit Fungsi dan Limit Fungsi di satu titik………..…………………….....4
A.     Konsep Limit Fungsi…………...…………………………………….......4
B.     Limit Fungsi di satu titik ………………………………………………......9
Bab 3 Penutup…………………………………………………………………........10
Daftar Pustaka………………………………………………………………..…......11















Bab 1
Pendahuluan

A.      Latar Belakang
Dalam pembahasan bab limit ini terdapat sub bab tentang Konsep Limit Fungsi dan Limit Fungsi di satu titik . Sebagian orang masih sulit membedakan antara kedua sub bab tersebut. Terdapat definisi-definisi yang ada pada Konsep Limit Fungsi dan Limit Fungsi di satu titik. Maka dalam makalah ini kami akan menjelaskan definisi-definisi yang ada tersebut, serta rumus-rumus yang ada.


B.      Tujuan
Tujuan dari pembuatan makalah ini adalah untuk mengetahui tentang Konsep Limit Fungsi dan Limit Fungsi di satu titik.

C.      Manfaat
Manfaat yang dapat kita peroleh dari pembuatan makalah ini adalah kita bisa mengetahui fungsi limit dalam kehidupan sehari-hari dan cara menyelesaikan soal-soal yang melibatkan tentang Konsep Limit Fungsi dan Limit Fungsi di satu titik .








Bab 2
PEMBAHASAN

Konsep Limit Fungsi dan Limit Fungsi di satu titik
A.           KONSEP LIMIT FUNGSI
Apa itu limit? Limit secara bahasa yaitu batas, membatasi, mempersempit,        mendekatkan. Dalam kehidupan sehari-hari, orang sering dihadapkan pada masalah-masalah pendekatan suatu nilai/besaran. Contoh:
a.       Letak rumah Budi dekat dengan rumah Tono.
b.      Ketika hari sudah mendekati senja, datanglah yang ditunggu-tunggu.
c.       Nilai ujian matematika Anton hampir 9.
d.      ……dst.
Seberapa dekat/mendekati/hampir besaran-besaran atau nilai-nilai pada contoh di atas dengan besaran/nilai yang sebenarnya? Dari ketiga contoh tersebut, kita mungkin tidak mengetahui letak/berat/nilai yang sesungguhnya. Contoh-contoh lain terkait dengan masalah pendekatan
Perhatikan gambar berikut.
                                                             

Di dalam lingkaran dibuat bidang segi n (n polygon) sehingga titik-titik sudut segi n tersebut berada pada lingkaran. Tentu dapat dibayangkan bahwa apabila n sangat besar, maka luas segi n akan mendekati luas lingkaran. Contoh lain pada Masalah penjumlahan:

Dari contoh penjumlahan diateas kita dapat menyimpulkan “Apabila jumlahan dilakukan untuk n sangat besar, maka hasil jumlahan akan mendekati 1”.
Contoh lain pada Masalah mekanika, ketika Seseorang berangkat ke tempat kerja menggunakan sepeda motor, dari rumah pukul 07.00 sampai ke tempat kerja pukul 07.30. Jarak rumah ke tempat kerja 15 km. Orang tersebut mengendarai sepeda motor dengan kecepatan rata-rata :

Secara umum, apabila pada pukul 07 lebih t menit, orang tersebut telah menempuh jarak sejauh  x km, maka kecepatan rata-rata orang tersebut saat berkendaraan adalah: .
Yang menjadi pertanyaan adalah berapa sesungguhnya kecepatan orang tersebut dalam berkendaaan ketika jam menunjukkan pukul 07 lebih t menit?
          Pertanyaan ini sulit dijawab, karena nilai perbandingan jarak tempuh dan selang waktu, yaitu  menjadi mendekati 0/0. Namun demikian nilai pendekatannya dapat ditentukan.
Salah satu masalah utama di dalam kalkulus adalah nilai slope/kemiringan suatu garis , yaitu  ketika nilai tersebut menjadi hampir 0/0. Nilai eksak slope dengan kondisi seperti tersebut di atas sangat sulit ditentukan, namun nilai pendekatannya tidaklah sulit untuk ditentukan. Proses menentukan nilai pendekatannya itulah yang menjadi ide dasar konsep limit.
Perhatikan bahwa untuk berbagai nilai dan , maka nilai berupa bilangan rasional. Oleh karena itu, ide dasar konsep limit tidak lain adalah barisan bilangan rasional.
Barisan bilangan rasional antara lain dapat ditemukan dalam geometri, yaitu ketika seseorang akan menentukan hasil bagi keliling sebarang lingkaran dengan diameternya (bilangan π).
          Untuk mengetahui hasil bagi keliling sebarang lingkaran dengan diameternya, kita gambarkan poligon (segi banyak) beraturan di dalam lingkaran.


Betul bahwa keliling setiap poligon tidak akan pernah sama dengan keliling lingkaran. Akan tetapi apabila jumlah sisi poligon cukup besar, maka selisih antara keliling lingkaran dengan keliling poligon tersebut sangatlah kecil, lebih kecil dari sebarang bilangan positif yang diberikan, misalkan 0.00000000000000000000000001
Jadi, apabila jumlah sisi poligon terus diperbesar , misalkan  dari 4 sisi, 5 sisi, …, 60 sisi, 61 sisi, 62, 63, 64, dan seterusnya, dan kita lakukan pembagian keliling masing-masing poligon dengan diamter lingkaran, maka kita akan dapatkan barisan bilangan rasional, yang masing-masing bilangan nilainya kurang dari hasil bagi keliling lingkaran dengan diameternya (sebut  π). Bilangan di dalam barisan yang kita dapatkan tersebut, semakin lama akan semakin dekat dengan π (yaitu limit atau batas barisan).
Pada prinsipnya, nilai-nilai yang terletak pada sumbu Y dapat dipakai untuk menggambarkan nilai sebarang besaran. Demikian pula nilai-nilai yang terletak pada sumbu X. Apabila nilai pada sumbu Y menyatakan jarak tempuh benda yang bergerak dan nilai pada sumbu X menyatakan waktu tempuh, maka slope mempunyai arti kecepatan/laju rata-rata.Arti lebih umum: Kecepatan/laju rata-rata diartikan sebagai perbandingan perubahan suatu besaran terhadap perubahan besaran yang lain.
Perlu kita ketahui beberapa fungsi limit. Fungsi limit dalam kehidupan sehari-hari, banyak sekali dijumpai adanya keterkaitan atau hubungan antara satu obyek dengan obyek yang lain. Misalnya antara pedagang dan pembeli suatu barang, antara majikan dan pelayan, antara bank dan nasabah, dan lain sebagainya. Hubungan-hubungan tersebut secara umum disebut relasi.
Secara sistemik, suatu relasi menggambarkan hubungan antara anggota dari suatu kumpulan obyek dengan anggota dari kumpulan obyek yang lain. Relasi yang memenuhi syarat tertentu, yaitu apabila setiap unsur dalam suatu kumpulan obyek mempunyai hubungan dengan tepat satu obyek dari kumpulan yang lain, disebut fungsi.
Secara matematis, pengertian fungsi diberikan sebagai berikut: jika diberikan himpunan tak kosong A dan B. Relasi dari A ke B adalah suatu himpunan. Relasi dari A ke B sehingga untuk setiap anggota A berelasi dengan tepat  satu anggota B disebut fungsi dari A ke B.



Jika sembarang anggota A diwakili dengan variabel x dan anggota B yang oleh fungsi f  berelasi dengan x adalah y, maka fungsi f  biasa diberikan dengan rumus
Dari contoh-contoh masalah pendekatan sebagaimana diuraikan di atas, kiranya secara matematis dapat dibuat rumusan umumnya: “Apabila diberikan suatu fungsi f dengan rumus  y=f(x), maka berapa nilai y apabila x sangat dekat dengan c?”. Untuk lebih jelasnya, perhatikan beberapa contoh berikut:
Contoh 1.  Diberikan berapa nilai pada saat x sangat dekat dengan 0?
Jawab: Nilai eksak yang menjadi jawaban pertanyaan di atas sulit ditentukan, bahkan tidak mungkin. Mengapa demikian? Karena kita tidak dapat memberikan kepastian nilai x yang dimaksud. Meskipun demikian, nilai pendekatan untuk          yang dimaksud bisa ditentukan. Perhatikan tabel berikut.


Dari tabel di atas dapat dilihat, apabila nilai x semakin dekat dengan 0, maka           akan semakin dekat dengan 1.
CATATAN: Adalah suatu kebetulan bahwa dengan grafik, dapat digambarkan sebagai berikut.

Dari grafik dapat dilihat, apabila x sangat dekat dengan 0, baik untuk x<0 maupun untuk  x > 0, maka sangat dekat dengan 1.
Contoh 2.  Diberikan  Berapa nilai pada saat x sangat dekat dengan 1?
Jawab:
          Untuk kasus ini, jelas bahwa tidak ada atau tak terdefinisi. Yang menjadi pertanyaan, apakah hal itu berakibat juga tidak ada untuk setiap x sangat dekat dengan 1?
Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita perlu menganalisanya dengan cermat. Perhatikan bahwa  untuk ,  (Dalam hal ini, kita definisikan ). Selanjutnya, untuk berbagai nilai, nilai g(x) dapat dilihat pada tabel berikut. 



          Dengan grafik, nilai g(x) untuk berbagai nilai x yang sangat dekat dengan 1 dapat dilihat pada gambar berikut. 

Jadi, baik dari tabel maupun dari grafik, diperoleh bahwa semakin dekat nilai x  dengan 1, maka nilai h(x) semakin dekat dengan 2.
Dari Contoh 1, Contoh 2, dan Contoh 3, apabila kita perhatikan beberapa hal yang sama (dalam hal ini tidak usah memperhatikan nilai fungsi di 0 untuk Contoh 1 dan nilai fungsi di 1 untuk Contoh 2 dan Contoh 3), berturut-turut kita katakan:
a.       Limit f(x) untuk x mendekati 0 sama dengan 1,
b.      Limit g(x) untuk x mendekati 1 sama dengan 2,
c.       Limit h(x) untuk x mendekati 1 sama dengan 2,
dan masing-masing ditulis dengan:
Dengan demikian, dapat diturunkan definisi limit fungsi secara formal, yaitu sebagai berikut.
          Definisi 4. Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk x mendekati c, ditulis   , jika untuk nilai x yang sangat dekat dengan c, tetapi          , berakibat f(x) mendekati L.
Untuk, definisi limit dapat dituliskan sebagai berikut.
          Definisi 5. Fungsi f dikatakan mempunyai limit L untuk x mendekati  ∞ , ditulis , jika untuk nilai x  yang sangat besar tak terbatas arah positif berakibat f(x) mendekati L.
Contoh 6. Tunjukkan bahwa keliling lingkaran dengan jari-jari R sama dengan        .
Penyelesaian: Dibuat segi n beraturan di dalam lingkaran sehingga setiap titik sudutnya berada pada lingkaran.
Keliling segi n tersebut adalah:
Untuk  n cukup besar, maka nilai       akan mendekati keliling lingkaran. Oleh karena itu, keliling lingkaran adalah
Contoh 7.  Suatu partikel bergerak mengikuti persamaan dengan t menyatakan waktu (dalam jam) dan S(t) menyatakan jarak tempuh. Berapa kecepatan partikel pada jam 2?
Penyelesaian:
          Kecepatan rata-rata partikel dari jam 2 sampai dengan jam 2+h, dengan          adalah  , Apabila diambil h sangat kecil mendekati 0, maka akan diperoleh kecepatan pada saat jam 2, yaitu

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar