makalah limit tak hingga dan limit di tak hingga

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, yang rahmat- Nya maka kami dapat menyelesaikan penyusunan makalah yang berjudul  “Limit Tak Hingga Dan Di Tak Hingga “.

Penulisan makalah ini adalah merupakan salah satu tugas dan persyaratan untuk menyelesaikan tugas mata kuliah kalkulus.

Dalam penulisan makalah ini kami merasa masih banyak kekurangan- kekurangan baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan kemampuan yang dimiliki penulis. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat kami harapkan demi penyempurnaan pembuatan makalah ini.

Dalam makalah ini kami menyampaikan ucapan terima kasih yang tak terhingga kepada pihak- pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan makalah ini, khususnya kepada dosen mata kuliah Kalkulus, Ibu Dr. Sunismi, M.Pd.

Akhirnya penulis berharap semoga makalah yang berjudul “Limit Tak Hingga Dan Di Tak Hingga “ dapat bermanfaat untuk kita semua.

Malang, 13 Desember 2011

Penulis

BAB I

PENDAHULUAN

1.1    Latar Belakang

Limit tak hingga dan limit di tak hingga merupakan suatu bagian dari kalkulus.

1.2    Rumusan Masalah

1.      Apa yang anda pahami tentang limit tak hingga?

2.      Apa yang anda pahami tentang limit di tak hingga?

1.3    Tujuan

1.      Dapat memahani tentang limit tak hingga.

2.      Dapat memahami tentang limit di tak hingga

3.      Dapat menguasai materi limit tak hingga dan di tak hingga.

BAB II

LIMIT TAK HINGGA DAN DI TAK HINGGA

1.                   LIMIT TAK HINGGA

            Adalah konsep limit yang melibatkan lambang ∞ dan -∞,yaitu bila nilai fungsi f(x) membesar atau mengecil tanpa batas atau bila peubah x membesar atau mengecil tanpa batas. Konsep pertama adalah tentang limit fungsi f di titik c untuk fungsi f yang terbatas pada selang yang memuat c. Dalam hal ini kemungkinannya adalah

                    atau     

(x→ c dapat diganti x→ atau x→ ). Konsep kedua adalah tentang limit fungsi f untuk peubah x yang membesar tanpa batas (x→∞) atau untuk peubah x yang mengecil tanpa batas x→-∞), yang dikenal sebagai limit tak hingga. Dalam hal ini kemungkinannya adalah

                    atau    

Kasus lainnya adalah gabungan dari kedua konsep ini, yaitu limit tak hingga di tak hingga, yang kemungkinannya adalah :

1)     

2)     

3)     

4)     

DEFINISI-DEFINISI CERMAT LIMIT BILA x→ ±∞

Definisi (Limit bila x→∞). Andaikan f terdefinisi pada [c,∞) untuk suatu bilangan c.  Kita katakan bahwa   jika untuk masing-masing > 0, terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian hingga                                     x >M  ǀ f (x) – L ǀ <

Dalam analog dengan definisi, kita untuk limit-limit biasa, kita membuat definisi berikut.

Anda akan memperhatikan bahwa M dapat tergantung pada ɛ. Umumnya, semakin kecil ɛ maka M harus semakin besar. Grafik dalam gambar tersebut mungkin membantu anda memahami apa-apa yang telah kita katakan.

	Definisi (Limit bila x→-∞). Andaikan f terdefinisi pada (-∞,c] untuk suatu bilangan c kita katakan bahwa jika untuk masing-masing ɛ > 0, terdapat suatu bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga x<M ⇒ ǀ f(x) - Lǀ<ɛ

 

CONTOH 1

Buktikan bahwa jika k bilangan positif, maka

                         = 0 dan

Penyelesaian Andaikan diberikan ɛ > 0. Pilih M = . Maka x > M memenuhi - 0| =  <  = ɛ

Bukti pernyataan yang kedua adalah serupa.

CONTOH 2

Buktikan bahwa  = 0

Penyelesaian  Di sini kita memakai akal baku : membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat x tertinggi yang muncul di penyebut, yakni .

  =  =  =  = 0

CONTOH 3

Cari

Penyelesaian Lagi-lagi, kita bagi pembilang dan penyebut dengan

 =  =  =  = -

CONTOH 4

Cari

bagi pembilang dan penyebut dengan

 =  = = 2

Kita mempunyai fungsi f  yang grafiknya diperlihatkan pada gambar berikut. Perhatikan bahwa jika x mendekati c, maka nilai f (x) semakin lama semakin besar dan tak terbatas (membesar tanpa batas). Dari situasi ini secara intuitif akan di bangun konsep limit tak hingga. Lambang :

                                                           

Menyatakan bahwa

            f (x) membesar tanpa batas bila x mendekati c.

Seperti pada limit fungsi di satu titik, situasi ini akan dilihat dengan seksama. Kita dapat menyatakan bahwa

f(x) dapat dibuat lebih besar dari sebarang bilangan positif dengan cara mengambil x yang cukup dekat ke c, tetapi x ≠ c.

Ini berarti bahwa

            bila M >0 sebarang diberikan, kita dapat menentukan suatu sehingga untuk x yang memenuhi 0 < ǀx-cǀ <, berlaku f(x)>M.

Secara matematis, kita dapat menuliskan situasi ini dengan lambang

M > 0  > 0 0< ǀx-c<  f(x)>M

Sebagai pengertian matematis dari . Jadi kita sampai pada definisi berikut.

Definisi 2.25  Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat c, kecuali mungkin di c sendiri. Limit fungsi f di c adalah tak hingga, ditulis

                              atau     f(x)→∞ bila x→c

Jika      M > 0  > 0 0< ǀx-c<  f(x)>M

Sejalan dengan definisi ini kita juga mempunyai limit tak hingga lainnya, yaitu limit kiri dan limit kanan dari definisi ini, dan juga limit yang hasilnya -∞ beserta limit kiri dan limit kanannya. Kita hanya akan memperkenalkan kelima kasus ini hanya dalam lambang matematika disertai dengan situasi geometrisnya pada gambar berikut.

 

                                    

 

                         

Definisi 2.26 

1.        jika M > 0  > 0 0< x-c <⇒ f(x)>M

2.        jika M > 0  > 0 0< c-x <⇒ f(x)>M

3.        jika N > 0  > 0 0< ǀx-cǀ<⇒ f(x)<N

4.        jika N > 0  > 0 0< c-x <⇒ f(x)< N

5.        jika N > 0  > 0 0< x-c <⇒ f(x)<N

Dengan menggunakan konsep limit tak hingga dapat dibuktikan teorema berikut.

Teorema 2.27

1.       = ∞, n bilangan asli

2.       =      ∞, n bilangan genap positif

−∞, n bilangan ganjil positif

3.       = ∞, n bilangan genap positif

Teorema ini dapat diperumum untuk menyelesaikan masalah :

Berapakah  , dalam kasus  f (x) ≠ 0 dan

Jawaban masalah ini adalah ∞, atau −∞, cara menentukannya diberikan teorema berikut.

Teorema 2.28

Jika  f (x) = L ≠ 0 dan  , maka  =

a.       ∞ bila L > 0 dan g (x) → 0 dari atas (arah  nilai g (x) yang positif)

b.      −∞ bila L < 0 dan g (x) → 0 dari atas (arah nilai g (x) yang positif)

c.       −∞ bila L > 0 dan g (x) → 0 dari bawah ( arah nilai g (x) yang negatif)

d.      ∞ bila L < 0 dan g (x) maka 0 dari bawah (arah nilai g (x) yang negatif)

Catatan :

Teorema 2.28 juga berlaku bila x→c diganti oleh x→c⁺ atau x→cˉ. Sebagai ilustrasinya adalah :

1.       = −∞ , karena  = 2>0 dan  dari bawah.

2.       = ∞ , karena  =  - 2 < 0 dan  dari bawah.

3.       = ∞ , karena  = 2>0 dan  dari atas.

4.       = −∞ , karena  – x ) =  – 2 < 0 dan  dari atas.

2.                  LIMIT  DI TAK HINGGA

Kita mempunyai fungsi f  yang grafiknya diperlihatkan pada gambar berikut. Perhatikan bahwa jika peubah x membesar tanpa batas, maka f(x) akan mendekati dengan L. Dari situasi ini secara intuitif akan dibangun konsep limit di tak hingga.

Lambang :

Menyatakan bahwa f (x) mendekati L, bila x membesar tanpa batas.

Dengan proses seperti pada limit fungsi di satu titik, secara lebih seksama kita dapat menyatakan bahwa :

 f (x) dapat dibuang sebarang dekat ke L dengan cara mengambil x yang cukup besar  atau

jarak f (x) ke L dapat dibuat sebarang kecil bila x dibuat lebih besar dari suatu bilangan positif.

Ini berarti bahwa  bila ɛ>0 sebarang diberikan, kita dapat menentukan suatu m>0 sehingga untuk x yang memenuhi x>m, berlaku ǀ f (x) - Lǀ < ɛ

Secara matematis, kita dapat menuliskan situasi ini dengan lambang

 ǀ f (x) - Lǀ < ɛ

Sebagai pengertian matematis dari = L . jadi kita sampai pada definisi berikut.

Definisi 2.29

Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (a,∞). Limit fungsi f untuk x membesar tanpa batas adlah L, ditulis :

 atau f (x)→L bila x → ∞

Jika      Lǀ < ɛ

Dengan cara yang sama, kita dapat mendefinisikan limit fungsi f bila peubahnya mengecil tanpa batas. Pada gambar berikut, perhatikan bahwa jika x mengecil tanpa batas, maka fungsi f (x) dekat dengan L. Dari sini kita dapat menyatakan bahwa f (x) dapat dibuat sebarang dekat ke L, dengan cara mengambil x yang cukup kecil.

Definisi 2.30

Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (−∞,b). Limit fungsi f untuk x megecil tanpa batas adalah L, ditulis

 atau f (x) → L bila x → ∞,

jika Lǀ <ɛ

Teorema 2.31

1.       = 0, n bilangan asli

2.       = 0, n bilangan asli

Bukti Kita buktikan teorema 2.31.1

Diberikan ɛ>0, akan ditentukan suatu m>0 sehingga x>m ⇒ ǀ - 0| =  <

Berdasarkan   <  > x >  pilihlah m = > 0. Akibatnya,

x>m= ⇒>  ⇒ ǀ - 0| =  <

Sehingga terbuktilah yang di inginkan.

Catatan :

Sifat-sifat limit di satu titik dan limit fungsi komposisi untuk fungsi yang mempunyai limit, dan prinsip apit berlaku juga untuk limit di tak hingga. Pernyataan teoremanya persis sama, tetapi x→c di ganti oleh x→∞, atau di ganti oleh x→ - ∞, dan daerah asal f disesuaikan. Dalam pemecahan soal, kita seringkali harus memanipulasi bentuk fungsinya agar muncul bentuk , sehingga teorema di atas dapat digunakan.

Berbagai teknik menghitung limit di tak hingga dengan menggunakan teorema 2.31 diberikan dalam contoh berikut.

Contoh 2.31 Hitunglah

Jawab agar bentuk  dapat dimunculkan sehingga teorema 2.31.1 dapat di gunakan, maka keluarkan faktor  dari pembilang dan penyebut. Karena x→∞, maka kita hanya berurusan dengan bilangan positif, sehingga faktor  dapat dicoret. Limit yang diinginkan langsung diperoleh setelah teorema 2.31.1 digunakan.

=  =  =  =  =

Contoh 2.24 Hitunglah

Jawab agar bentuk  dapat dimunculkan sehingga teorema 2.31.2 dapat di gunakan, maka keluarkan faktor  dari pembilang dan penyebut. Karena x→ - ∞, maka kita hanya berurusan dengan bilangan negatif, sehingga faktor  dapat dicoret. Limit yang diinginkan langsung diperoleh setelah teorema 2.31.2 digunakan.

=  =  =  =  

Contoh 2.25 Hitunglah (a)   dan (b)  

Jawab soal ini diselesaikan dengan mnggunakan prinsip apit untuk limit di tak hingga.

(a) karena 0 ≤ ǀǀ  ≤  x > 0, dengan limit pengapitnya  , maka =0. Berdasarkan rumus nilai mutlak fungsi di peroleh   = 0.

(b) karena 0 ≤ ǀǀ ≤ x > 0, dengan limit pengapitnya  , maka =0. Berdasarkan rumus nilai mutlak fungsi di peroleh   = 0.

Hubungan Terhadap Asimtot

Asimtot-asimtot di bahas secara ringkas dalam pasal 2.1, tetapi sekarang kita dapat mengatakan lebih banyak tentang mereka. Garis x = c adalah asimtot vertikal dari grafik y= f(x) jika salah satu dari pernyataan-pernyataan berikut benar.

1.      = ∞

2.      = - ∞

3.      = ∞

4.      = - ∞

Jadi dalam contoh 5, garis x =  1 adalah asimtot tegak. Sama halnya, garis-garis x=2 dan x =3 adalah asimtot vertikal dalam contoh 6. Dalam nafas yang serupa, garis y = b adalah asimtot horisontal dari grafik y = f(x) jika  atau . Garis y = 0 adalah asimtot horisontal dalam contoh 5.

Contoh 7 cari asimtot-asimtot vertikal dan horizontal dari grafik y = f(x) Jika f(x)=  

Penyelesaian

Kita harapkan sebuah asimtot vertikal pada titik yang penyebutnya nol, dan kita benar karena  = ∞ dan  = −∞

Sebaliknya  =  = 2 dan  = 2 sehingga y = 2 adalah asimtot . Grafik y =  diperlihatkan pada gambar berikut.

BAB III

PENUTUP

3.1              Kesimpulan

Ø  Limit Tak Hingga adalah konsep limit yang melibatkan lambang ∞ dan -∞,yaitu bila nilai fungsi f(x) membesar atau mengecil tanpa batas atau bila peubah x membesar atau mengecil tanpa batas. Konsep pertama adalah tentang limit fungsi f di titik c untuk fungsi f yang terbatas pada selang yang memuat c. Dalam hal ini kemungkinannya adalah

                    atau     

(x→ c dapat diganti x→ atau x→ ). Konsep kedua adalah tentang limit fungsi f untuk peubah x yang membesar tanpa batas (x→∞) atau untuk peubah x yang mengecil tanpa batas x→-∞), yang dikenal sebagai limit tak hingga.Dalam hal ini kemungkinannya adalah

                    atau    

Ø  Sifat-sifat limit di satu titik dan limit fungsi komposisi untuk fungsi yang mempunyai limit, dan prinsip apit berlaku juga untuk limit di tak hingga. Pernyataan teoremanya persis sama, tetapi x→c di ganti oleh x→∞, atau di ganti oleh x→ - ∞, dan daerah asal f disesuaikan.