nursekhamaulida: MAKALAH KALKULUS SIFAT LIMIT FUNGSI, LIMIT KIRI DAN LIMIT KANAN

MAKALAH KALKULUS

SIFAT LIMIT FUNGSI, LIMIT KIRI dan LIMIT KANAN

PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS ISLAM MALANG

2012

KATA PENGANTAR

Dengan nama ALLAH Yang Maha Pengasih lagi Maha Penyayang. Puji dan syukur kami panjatkan kehadirat ALLAH SWT, karena atas rahmat dan karunia-NYA kami dapat menyelesaikan tugas makalah Kalkulus I yang mengenai “Sifat Limit fungsi , Limit Kiri dan Limit Kanan”

Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas dari Matakuliah Kalkulus I yang digunakan sebagai perhitungan nilai kami dalam Matakuliah ini.

Selama penyusunan makalah ini, kami telah memperoleh bantuan, bimbingan, petunjuk serta saran-saran dari berbagai pihak. Oleh karena itu pada kesempatan ini kami mengahaturkan rasa syukur dan terima kasih kepada:

Allah SWT dan Nabi Besar Muhammad SAW yang telah memberikan kesempatan bagi kami untuk menyelesaikan makalah ini dengan keadaan sehat.
Orang tua kami yang telah memberi do’a dan dukungan baik moril maupun materil yang tak terhingga kepada kami sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan sebaik-baiknya.
Ibu Dr. Sunismi, M.Pd , selaku guru pembimbing matakuliah Kalkulus I yang telah banyak memberikan bantuan dan arahan kepada kami dalam proses belajar mengajar hingga tersusunnya makalah ini.
Sahabat-sahabat yang telah memberi motivasi dan membantu kami dalam menyelesaikan makalah ini.

Kami sangat menyadari bahwa penyusunan makalah ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu kami sangat mengharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun sebagai bahan masukan dan bahan pertimbangan bagi kami dalam menyelesaikan tugas-tugas berikutnya.

Malang, Desember 2012

Penulis

DAFTAR ISI

Kata Pengantar…………………………………………………………………..i

Daftar Isi…………………………………………………………………………1

Bab I Pendahuluan………………………………………………………………2

1. Latar Belakang………………………………………………………2

2. Tujuan…………………………………………………………….....2

3. Rumusan Masalah…………………………………………………..2

Bab II Pembahasan……………………………………………………………...3

A. Limit Kiri dan Limit Kanan…………………………………………3

B. Sifat – Sifat Limit Fungsi……………………………………………7

C. Sifat Penting dari Limit Fungsi……………………………………..11

Bab 3 Penutup………………………………………………………………….13

Daftar Pustaka…………………………………………………………………..15

Bab I

Pendahuluan

1. Latar Belakang

Kami menyusun makalah ini sebagai tugas mata kuliah dan sebagai pelengkap nilai di tengah semester ini. Dengan menyusun makalah ini kami harapkan dapat mempermudah mahasiswa untuk memahami, khususnya mengenai bab Sifat limit fungsi, dan limit kiri & limit kanan.

2. Tujuan

Tujuan dari pembuatan makalah ini adalah untuk mengetahui tentang sifat-sifat limit fungsi, dan limit kanan & kiri.

3. Rumusan Masalah

a. Apa yang dimaksud limit kiri & limit kanan ?

b. Apa saja sifat-sifat limit fungsi itu ?

c. Apa sifat penting dari limit fungsi ?

Bab II

PEMBAHASAN

A. Limit Kiri dan Limit Kanan

Sebelum kita memasuki materi limit kiri dan limit kanan, perhatikan dahulu fungsi f beserta grafiknya pada gambar berikut :

Perhatikan Grafik Fungsi

Nilai

dapat di buat sebarang dekat ke 1 bilamana x di buat cukup dekat ke 0 dari sebelah kanan . Di sini kita katakan bahwa fungsi f mempunyai limit kanan di 0 dengan nilai limit l, ditulis

Nilai

dapat dibuat sebarang dekat ke - 1 bilamana x dibuat cukup dekat ke 0 dari

sebelah kiri.Di sini kita katakan bahwa fungsi f mempunyai limit kiri di 0 dengan nilai

limit - 1, ditulis

Nilai

tidak mendekati suatu nilai manapun bilamana x dibuat mendekati 0. Dari

arah sebelah kiri 0,

mendekati -1, sedangkan dari arah sebelah kanan o,

mendekati l. Karena limitnya dari arah kiri dan dari arah kanan berbeda, maka kita

katakan bahwa

tidak ada.

Dari beberapa keterangan diatas di dapatkan definisi sebagai berikut:

Definisi :

Ø Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (c,b). Limit kanan fungsi f di c adalah L

Ø Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang (a,c). Limit kiri fungsi f di c adalah L

Perhatikan gambar berikut yang memperlihatkan situasi geometri untuk limit kanan dan untuk limit kiri

Limit Kanan Fungsi f di c

Limit Kiri Fungsi f di c

Teorema :

1. Limit sebuah fungsi dikatakan ada jika dan hanya jika limit kiri dan limit kanannya ada serta merta

2. Apabila salah satu dari ketentuan-ketentuan di atas tidak terpenuhi, maka limit dari fungsi yang bersangkutan tidak terdefinisi. Dengan demikian limit sebuah fungsi dikatakan tidak ada jika limit salah satunya tidak ada, atau limit kedua sisinya tidak ada, atau limit kedua sisinya ada tetapi tidak sama.

ContohSoal :

Tentukan :

Hitunglah

Jawaban :

a. Karena aturan fungsi berubah di x = 0, maka perlu di cari limit

kiri dan limit kanan di x = 0

Karena aturan fungsi berubah di x =1, makaperludicari limitkiridan limit kanan di x=1

Karena

Tidak ada

c. Karena aturan fungsi tidak berubah di x = 2, maka tidak perlu dicari limit kiri dan limit kanan di x = 2

2. Tentukankonstanta c agar fungsi

Mempunyai limit di x = -1

Jawaban :

Agar f(x) mempunyai limit di x=-1, maka limit kiri harus sama dengan limit kanan agar limit ada

3 + c= 1 – c

3– 1 = - c – c

2 = - 2c

-1 = c

2. Tunjukkan limit kiri dan limit kanan dari

c) karena

Maka

ada

B. Sifat - Sifat Limit Fungsi

1. Ketunggalan Limit Fungsi

Jika suatu fungsi mempunyai limit di satu titik, limit tunggalnya. Ini berarti tidak mungkin terjadi suatu limit mempunyai dua fungsi yang berbeda

Teorema 3

2. Limit fungsi pada operasi aljabar

Pada fungsi f,g : D

R dapat di lakukan operasi aljabar penjumlahan, selisih, hasil kali dan hasil bagi asalkan penyebutnya tidak nol. Jika D memenuhi syarat agar limit fungsi

, fg, khususnya cf, c konstanta dan fungsi

juga mempunyai limit di a.

Teorema 4

misal fungsi f dan g terdefinisi pada selang terbuka I yang memuat a kecuali mungkin di a sendiri. Jika

maka

Bukti:

Pilih

= │( f(x) + g(x)) – ( L + M) │

= ││f(x) – L │+ │g(x) - M││

Bukti :

Pilih

Khususnya,

konstanta

3. Limit fungsi aljabar

Limit fungsi yang sederhana secara langsung dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi limit

konstanta 4)

konstanta

Teorema 5 dan 6

Jika

Contoh: dengan menggunakan rumus (5) dan (6) hitunglah nilai lim berikut

Jawab :

C. Sifat Penting dari Limit Fungsi

Limit nilai mutlak fungsi

Jika suatu fungsi mempunya limit di satu titik, maka nilai mutlak fungsinya mempunyai limit di titik itu, tetapi kebalikaanya tidak benar lagi.

Teorema 2.6 (1) Jika

(2) Jika

Contoh :

1. Dengan menggunakan Teorema 2.6 tentukan limit nilai mutlak,

Jawab:

2. Jika

, selidiki apakah

dan

ada.

Jawab:

Untuk menyelesaikan limit yang kedua, ambilah selang terbuka (0,2) yang memuat 1 kemudian perhatikan selang (0,1) untuk menghitung limit kiri, dan selang (1,2) untuk menghitung limit kanan.

Ø Pada selang (0,1) yaitu untuk 0 < x < 1 berlaku