LIMIT FUNGSI MAKSIMUM DAN MINIMUM

MAKSIMUM DAN MINIMUM

Makalahinidisusununtukmemenuhitugasmatakuliahkalkulus I

dibimbingolehDra. Sunismi, M.Pd

UNIVERSITAS ISLAM MALANG

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

Oktober 2012

         KATA PENGANTAR

           

Syukur Alhamdulillah kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat serta hidayahnya sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah dengan judul ”Maksimum dan Minimum”. Sholawat serta salam kita haturkan kepada baginda Rosul Muhammad SAW, beliau yang menjadi panutan kita.

Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada IbuDra. Sunismi, M.Pd selaku dosen mata kuliah Kalkulus I yang telah membimbing penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini.

Penulis mohon maaf apabila terdapat kesalahan dalam makalah ini.

Semoga makalah ini bermanfaat bagi semua pihak yang membaca, khususnya bagi penulis.

                                                                          Malang, 28 Oktober 2012

Daftar Isi

Kata Pengantar........................................................................................................... ii

Daftar Isi.................................................................................................................... iii

Bab I Pendahuluan..................................................................................................... 1

Bab II Isi.................................................................................................................... 2

2.1 Defenisi................................................................................................................ 2

2.2Teorema Keberadaan Maksimum-Minimum......................................................... 2

2.3 Di Mana Terjadi Nilai-Nilai Ekstrim.................................................................... 2

2.4 Teorema Titik Kritis

Bab III Penutup......................................................................................................... 9

3.1 Kesimpulan.......................................................................................................... 9

3.2 Saran.................................................................................................................... 9

Daftar Pustaka........................................................................................................... iv

BAB I

PENDAHULUAN

Seringkalikitaharusmencaricaraterbaikdalammelakukansesuatupekerjaan. Sebagaicontoh, seorangpetaniinginmemperolehkombinasitanaman yang dapatmenghasilkankeuntunganterbesar.Seorangdokterberharapdapatmemberikandosisterkecilsuatuobatuntukmenyembuhkanpenyakittertentu.Seorangkepalapabrikinginmenekansekecilmungkinbiayapendistribusianproduknya.

            Kadangkalamasalahsemacamitudapatdirumuskansedemikianrupasehinggamelibatkanpemaksimumndanpeminimumansuatufungsipadasuatuhimpunan yang telah di tentukan.Jikademikian, metode-metodekalkulusmenyediakansaranaampuhuntukmemecahkanmasalahtersebut.

BAB II

ISI

1.1 Definisi

Misalkan S, daerahasalƒ, mengandungtitikc,maka :

•      ƒ(c) adalahnilaimaksimum ƒ pada S jika ƒ(c) ≥ ƒ(x)untuksemua x di S;

•      ƒ(c)adalahnilai minimum ƒ pada S jika ƒ(c) ≤ ƒ(x)untuksemua x di S;

•      ƒ(c) adalahnilaiekstrim ƒ pada S jikaiaadalahnilaimaksimumataunilai minimum.

1.2 TeoremaKeberadaanMaksimum-Minimum :

Jika ƒ kontinupada interval tertutup [a , b] ,maka ƒ mencapainilaimaksimumdannilai minimum.

1.3 Di manaterjadinilai-nilaiekstrim?

Nilai-nilaiekstrimdarifungsi yang didefenisikanpada interval tertutupseringkaliterjadipadatitik-titikujung.

Jikacsebuahtitiktempat ƒ΄(x) =0, kitasebutctitikstasioner.

Jikacadalahtitik –dalamdariI di mana ƒ΄tidakada, kitasebutcsebagaititik singular.

Ketigajenistitikinimerupakantitik-titikkuncidariteorimaks-min. Sebarangtitikdalamdaerahasalfungsi ƒ yang termasuksalahsatudaritigatipeinidisebuttitikkritisƒ.

CONTOH :

Carititik-titikkritisdari ƒ(x)= -2x³ + 3x² pada [-½ ,2]

PENYELESAIAN :

Titik-titikujungadalah -½ dan 2. Untukmencarititikstasionerkitapecahkan

ƒ΄(x)= -6x² + 6x =0 untuk x, diperoleh 0 dan 1.Tidak adatitik-titik singular.

Jadititik-titikkritisnyaadalah -½ , 0 , 1 , 2.

1.4 TEOREMA TITIK KRITIS :

Misalkan ƒ didefenisikanpada interval I yang memuattitikc. Jika ƒ(c) adalahnilaiekstrim,

makacharuslahberupasuatutitikkritis; dengan kata lain, cadalahsalahsatudari :

•        TitikujungdariI

•        Titikstasionerdari ƒ ; yaknititik di mana ƒ΄(c) = 0 atau;

•        Titik singular dariƒ ;yaknititik di mana ƒ΄(c) tidakada.

CONTOH :

Carilahnilai-nilaimaksimumdan minimum dari ƒ(x) = x³ pada [-2,2].

PENYELESAIAN :

ƒ΄(x) = 3x²

ƒ΄(x) hanya “nol” ketika x=0,

» titik-titikujungnyaadalah x= -2 dan x=2

            makatitik-titikkritisnya = -2 , 0 ,dan 2

» substitusititik-titikkritispadafungsisemula ƒ(x)= x³ diperoleh :

            ƒ(-2)= (-2)³ = -8

            ƒ(0) = (0)³ = 0

            ƒ(2) = (2)³ = 8

Jadinilaimaksimumadalah 8 dannilai minimum adalah -8

CONTOH :

Carilahnilai-nilaimaksimumdan minimum dari ƒ(x) = -2x³ + 3x² pada[ -½,2]

PENYELESAIAN :

ƒ΄(x) = -6x² + 6x

ƒ΄(x)=0 jika x=0 dan x=1

»titik-titikujungnyaadalah x= -½ dan x=2

makatitik-titikkritisnya = -½ , 0 , 1 ,dan 2

»substitusititik-titikkritispadafungsisemula ƒ(x)= -2x³ + 3x² diperoleh        

ƒ(-½)= -2(-½)³ + 3(-½)² = ¼ + ¾=1

ƒ(0)= -2(0)³ + 3(0)² =0

ƒ(1)= -2(1)³ + 3(1)² =1

ƒ(2)= -2(2)³ + 3(2)² = -4

Jadinilaimaksimumadalah 1 dannilai minimum adalah -4

CONTOH :

Fungsi F(x) = x^⅔

Kontinu di mana-mana.

Carilah nilai-nilai maksimum dan minimumnya pada [ -1,2 ]

PENYELESAIAN :

            F′(x) = ⅔ x^­⅓

            Tidak pernah nol, namun F′(o) tidak ada, sehingga 0 , -1 ,dan 2 adalah titik kritisnya.

            »substitusi titik-titik kritis ke fungsi semula diperoleh;

                        F(-1) = 1

                        F(0) = 0

                        F(2) =

                                ≈1,59

            Jadi nilaSi maksimum adalah

               nilai minimum adalah 0

CONTOH :

Carilahnilai-nilaimaksimumdan minimum dari ƒ(x) = x + 2 cos x pada[ - , 2 ]

PENYELESAIAN :

            ƒ′(x) = 1 – 2 sin x

            ƒ′(x) = 0 ketikanilaidari sin x = ½

            nilai sin x = ½ dalam interval [ - , 2 ] yang memenuhiadalah x = /6 dan x = 5/6

            makatitik-titikkritisnyaadalah - , 5/6 , /6 ,dan 2 

            »substitusititik-titikkritisdiperoleh;

                        ƒ(-) = -2 -  ≈ -5,14

                        ƒ(5/6) = - + 5/6 ≈ 0,89

                        ƒ(/6) =   + /6 ≈ 2,26

                        ƒ(2) = 2 + 2 ≈ 8,28

            Jadinilaimaksimumadalah 2 + 2dannilai minimum adalah -2 -  

BAB III

PENUTUP

3.1  Kesimpulan

3.1.1 Suatu fungsi kontinu pada suatu interval tertutup akan selalu  mempunyai nilai maksimum dan minimum pada interval tersebut.

            3.1.2 Istilah nilai ekstrim menyatakan suatu nilai maksimum dan minimum.

            3.1.3 Suatu fungsi dapat mencapai nilai ekstrim hanya pada titik kritis. Titik-titik kritis ada tiga tipe ; titik ujung, titik stasioner, dan titik singular.

3.2  Saran

Seperti kata pribahasa yang mengatakantakadagading yang takretak,karenakesempurnaanhanyamilik Allah. Makalahinidibuatuntukmemudahkanpembacadalammempelajaridanmemahamikonsepbarisangeometrisecaramendalam.

 Saran bagipembaca;

1. Pembaca di harapkanmemahamimaterimaksimumdan minimum yang telah di paparkandalammakalahini.

2. Pembaca di harapkandapatmengambilmanfaatdarimakalahini.

3. Pembacadapatmemberikankritik yang membangundarimakalah yang telahpenulispaparkan, agar kedepannyapenulisdapatmemperbaikikekurangan yang adadalammakalahini.

            Dengankemajuanteknologi yang semakincanggihpembaca di harapkandapatmencarikekurangan – kekurangandalammakalahini di dalamliteratur yang lain ataupun internet.

Daftar Pustaka

Purcell, Edwin J. Dale Varberg. 1987.  Edisi Kelima Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta : Erlangga.